LOGIKA - WARTOŚĆ LOGICZNA [ PRAWDZIWOŚĆ i FAŁSZYWOŚĆ ZDANIA ] => PROCES SPRAWDZANIA WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ 1.  Logika u podstaw - ZDANIE i SPOJNIKI ...____ 2.  Logika u podstaw - WARTOSC LOGICZNA __ 3.  Logika u podstaw - EKSTENSJONALNOSC i ... 4. Logika u podstaw - TAUTOLOGIA i KONTR..._ 5.  Logika u podstaw - SYSTEM_ZALOZENIOWY 6.  Logika u podstaw - PRAWDA LOGICZNA ___ 7.  Logika u podstaw - WYNIKANIE LOGICZNE _ 8.  Logika u podstaw - ROWNOWAZNOSC ...___ 9.  Logika u podstaw - WNIOSKOWANIE ..._____ 10.  Logika u podstaw - FALSZ LOGICZNY_ ___ 11.  Logika u podstaw - SPRZECZNY ZBIOR ..._ 12.  Logika u podstaw - KWANTYFIKATORY ..._ _______________________________________ ______strona  domowa  logiki  u  podstaw_____ 2. WARTOSC LOGICZNA ( PRAWDZIWOSC lub FALSZYWOSC ) zdania zlozonego, zbudowanego ze zdan prostych, wylacznie poprzez uzycie do tego celu spojnikow: , , , , ~ , zalezy od miejsca ich wystepowania w schemacie zdaniowym oraz wartosci logicznej ( 1 = prawda lub 0 = falsz ), zdan skladowych. Zaleznosc ta jest ujeta w tabele, tzw. MATRYCE LOGICZNE - logika "wymaga" by wkuc kazda matryca logiczna na pamiec, na tej samej zasadzie, na ktorej matematyka "wymaga" wkucia na pamiec TABLICZKI MNOZENIA ...

ZAWSZE !!! CALE ZDANIE SKLADAJACE SIE Z DWOCH ZDAN PROSTYCH , GDZIE :
p	q	p q		W KONIUNKCJI :
1	1	1		"p" jest prawdziwe, "q" jest prawdziwe daje PRAWDE
1	0	0		"p" jest prawdziwe, "q" jest falszywe daje FALSZ
0	1	0		"p" jest falszywe, "q" jest prawdziwe daje FALSZ
0	0	0		"p" jest falszywe, "q" jest falszywe daje FALSZ
p	q	p q		W ALTERNATYWIE :
1	1	1		"p" jest prawdziwe, "q" jest prawdziwe daje PRAWDE
1	0	1		"p" jest prawdziwe, "q" jest falszywe daje PRAWDE
0	1	1		"p" jest falszywe, "q" jest prawdziwe daje PRAWDE
0	0	0		"p" jest falszywe, "q" jest falszywe daje FALSZ
p	q	p q		W IMPLIKACJI :
1	1	1		"p" jest prawdziwe, "q" jest prawdziwe daje PRAWDE
1	0	0		"p" jest prawdziwe, "q" jest falszywe daje FALSZ
0	1	1		"p" jest falszywe, "q" jest prawdziwe daje PRAWDE
0	0	1		"p" jest falszywe, "q" jest falszywe daje PRAWDE
p	q	p q		W ROWNOWAZNOSCI :
1	1	1		"p" jest prawdziwe, "q" jest prawdziwe daje PRAWDE
1	0	0		"p" jest prawdziwe, "q" jest falszywe daje FALSZ
0	1	0		"p" jest falszywe, "q" jest prawdziwe daje FALSZ
0	0	1		"p" jest falszywe, "q" jest falszywe daje PRAWDE
p		~ p		W NEGACJI :
1		0		"p" jest prawdziwe, daje FALSZ
0		1		"p" jest falszywe, daje PRAWDE

Jak widac przy trzech zdaniach skladowych jest 8 kombinacji, zgodnie z zasada, że: Ilosc kombinacji = 2ⁿ
(“n” jest cyfra okreslajaca ilosc zdan skladowych). Przy czterech zdaniach skladowych ilosc kombinacji podstawien wynosi 2⁴ czyli 16. Przy czterech zdaniach skladowych ilosc kombinacji podstawien wynosi 2⁵ czyli 32... PAMIETAJ !

CWICZENIE 4 I Pierwsze cwiczenie w rozdziale nr 2 I

Pobawimy sie teraz ze sprawdzaniem wartosci logicznej podanych schematow, co pozwoli nam nabrac wprawy w tej dziedzinie :


1. “p” i “q” sa zdaniami prawdziwymi: p = 1; q = 1

a)

Oto kolejne kroki, ktore wypada w tej chwili poczynic:

- podpisz pod literami “p” i “q” cyfre 1, gdyz wiemy, ze oba zdania sa prawdziwe;

- nastepnie sprawdz w matrycy logicznej jaka wartosc logiczna ma alternatywa dwoch jedynek (okaze sie, ze to takze jedynka, ktora dla ulatwienia sobie dzialania podpiszemy pod symbolem alternatywy).

- kolejnym krokiem jest sprawdzenie w matrycy jaka wartosc ma glowny spojnik schematu - implikacja dwoch jedynek - calego okraglego nawiasu oraz tej, ktora jest pod litera “p” z prawej strony. Okaze sie, ze znow jest to jedynka, ktora podpisujemy w schemacie pod symbolem implikacji, podkreslajac ja;

- teraz juz wiemy, ze caly schemat, ktory w uproszczeniu wyglada tak :
(w lewej kopercie mamy to, co jest w nawiasie okraglym “ p q ”, w prawej kopercie natomiast “p”), ma wartosc “1”, czyli jest prawdziwy.
_____

b)

Tu sytuacja ma sie podobnie. Podpisalismy jedynki pod literami, sprawdzilismy, ze koniunkcja dwoch jedynek wynosi 1, nastepnie odkrylismy, iz glowny funktor -implikacja dwoch jedynek jest takze jedynka, co pozwolilo nam dowiedziec sie, ze caly nasz schemat, ktory w uproszczonej postaci przedstawia sie nastepujaco :
( w lewej kopercie mamy “p”, w prawej natomiast “q p”), jest prawda - jedynka.
_____

c)

W tym przypadku kroki sa nastepujace :

- podpisanie jedynek pod kazda z liter;

- sprawdzenie koniunkcji dwoch jedynek z nawiasu okraglego (jest to jedynka );

- sprawdzenie negacji p i ( q p ) - (w obu przypadkach jest to zero);

- upewnienie sie, ze implikacja (dwoch zer, bo to wlasnie one biora w niej udzial) - glownego spojnika schematu, wynosi 1 (podkreslenie).

Schemat powyzszy wyglada w uproszczeniu tak :
(w lewej kopercie mamy “p” - negacja wyznacza jej wartosc logiczna , w prawej zas “(q p)” - tu takze negacja wyznacza jej wartosc logiczna).
_____

d)

Sytuacja przedstawia sie analogicznie do poprzedniego schematu. Podstawiamy jedynki pod litery, nastepnie otrzymujemy 0 po zanegowaniu “q”, w dalszej kolejnosci sprawdzilismy, ze implikacja (ta w kwadratowym nawiasie), dla przypadku “0 1” daje jedynke, aby ostatecznie dojsc do wniosku, ze caly schemat jest prawdziwy, gdyz jego glowny spojnik - takze implikacja, w wypadku “1 1” jest jedynka. Schemat ten w uproszczeniu wyglada tak :
(w lewej kopercie znajduje sie maly schemacik “[(~q) q ]”, ktorego glownym spojnikiem jest implikacja, w prawej “p”).

2. “p” jest prawdziwe, natomiast "q" jest falszywe: p = 1; q = 0


a)

(p		q)		p
1	1	0	1	1

Pod “p” podpisujemy “1”, gdyz wiemy, ze zdanie to jest prawdziwe. Pod “q” podpisujemy “0”, gdyz jest to zdanie falszywe. Sprawdzamy w naszej pamieci (UWAGA! Nie powstala dotad na tej planecie lepsza metoda opanowania matryc logicznych, niz “dokladne wykucie ich w twardym dysku, ktory kazdy z nas nosi pod wlasna czupryna”. Jest to czynnosc jak najbardziej mozliwa do wykonania i pojdzie tym szybciej, im pozytywniejsze jest nasze nastawienie do niej. Pewnym ulatwieniem jest tu potraktowanie :

- KONIUNKCJA jako ILOCZYN, gdzie :

- ALTERNATYWA jako SUMA, gdzie :

Opanowanie matryc w logice jest tym, czym alfabetu w nauce pisania. Znajomosc jednego i drugiego poprostu ulatwia Zycie. PAMIETAJ !), jaka wartosc ma alternatywa “1 0” i wpisujemy “1”. Dalej interesuje nas wartosc logiczna implikacji dwoch jedynek, przez co znow udajemy sie w krotka podroz w glab wlasnego umyslu, przynoszac stamtad wiadomosc, ze jest to “1”. Tak oto nasz schemat jest prawda logiczna, bo ma wartosc “1”.

(...)

b)

p		(q		p)
1	0	0	0	1

W tym przypadku udalo sie nam dowiesc, iz powyzszy schemat jest falszem logicznym. Po wykonaniu odpowiednich podpisow zerojedynkowych pod literami, uzyskalismy “0” z koniunkcji w okraglym nawiasie oraz “0” z glownego spojnika - implikacji.
_____

c)

(~p)		[~(q		p)]
0 1	1	1 0	0	1

Koniunkcja “0 1” jest zerem, ktorego negacja jest jedynka. Negacja “p” to zero . Implikacja “0 1” jest podkreslona jedynka.
_____

d)

[(~q)		q]		p
1 0	0	0	1	1

Negacja “0” to “1”, ktora biorac udzial z “0” w implikacji kwadratowego nawiasu, daje calosci wartosc logiczna “0”. Glowny spojnik schematu - implikacja pomiedzy “0” oraz “1” ustanawia ostatecznie jego prawdziwosc (podkreslona 1) .

3. “p” jest falszywe, natomiast "q" jest prawdziwe: p = 0; q = 1


a)

(p		q)		p
0	1	1	0	0

Alternatywa “0 1” jest “1”. Implikacja “1 0” jest “0”.
_____

b)

p		(q		p)
0	1	1	0	0

Koniunkcja “1 0” to “0”. Implikacja “0 0” ustanawia caly schemat prawda (“1”).
_____

c)

(~p)		[~(q		p)]
1 0	1	1 1	0	0

I krok po podstawieniu zerojedynkowym to uzyskanie “0” z koniunkcji “1 0”. Nastepnie otrzymujemy dwa razy “1” po zanegowaniu wartosci logicznej koniunkcji (“0”), oraz litery “p” (“0”). Ostatecznie wiemy, ze schemat jest prawdziwy, gdyz implikacja “1 1” jest podkreslona jedynka.
_____

d)

[(~q)		q]		p
0 1	1	1	0	0

Negacja “q” jest “0”. Implikacja nawiasu kwadratowego “0 1” jest “1”. Implikacja tego calego schematu “1 0” ustanawia calosc nieprawda ( zero ).

4. “p” i "q" sa zdaniami falszywymi: p = 0; q = 0


a)

(p		q)		p
0	0	0	1	0

Podstawilismy za “p” i “q” zera. Otrzymalismy zero z alternatywy “p q”, by ostatecznie przekonac sie, ze caly schemat jest prawdziwy - implikacja “0 0” jest jedynka.
_____

b)

p		(q		p)
0	1	0	0	0

Koniunkcja “q p” daje “0”. Implikacja “0 0” powoduje, ze caly schemat jest prawdziwy (“1”).
_____

c)

(~p)		[~(q		p)]
1 0	1	1 0	0	0

Koniunkcja “0 0” jest zerem. Negacja tej koniunkcji jest jedynka. Negacja “p” daje jedynke. Implikacja “1 1” informuje nas, ze caly schemat jest prawda logiczna (podkreslona jedynka)
_____

d)

[(~q)		q]		p
1 0	0	0	1	0

Negacja “q” jest jedynka. Implikacja w nawiasie kwadratowym ma wartosc “0”. Glowny spojnik - implikacja “0 0", wyznacza ten schemat prawdziwym ( podkreslona jedynka ).

CWICZENIE 5 I Drugie cwiczenie w rozdziale nr 2 I

To cwiczenie jest rozszerzona wersja cwicz. nr 4. Oprocz znanych nam juz zdan “p” i “q”, wprowadzimy trzecie zdanie “r”.

a)

- Z lewej strony wypisalismy sobie wszystkie mozliwe warianty podstawien (przy trzech zdaniach skladowych jest ich zawsze 8). Nastepnie podpisalismy pod odpowiednimi literami w schemacie ich wartosci logiczne (0 albo1), i wykonalismy poczatkowe operacje. Kolejnym krokiem bylo w tym przypadku sfinalizowanie dzialan poprzez sprawdzenie wartosci logicznej koniunkcji, wygladajacej w uproszczonej postaci tak oto :
- Dzieki czemu dowiedzielismy sie, ze nasz schemat jest prawdziwy tylko w dwoch przypadkach ( I - dla p = 1, q = 1, r = 0 ; II - dla p = 0, q = 0, r = 0).
_____

b)

				(~ p		q)		~	(p		r)
p	q	r
1	1	1		0 1	0	1	1	0	1	1	1
1	1	0		0 1	0	1	1	0	1	1	0
1	0	0		0 1	1	0	0	0	1	1	0
0	0	0		1 0	0	0	1	1	0	0	0
0	1	1		1 0	1	1	0	0	0	1	1
0	0	1		1 0	0	0	1	0	0	1	1
1	0	1		0 1	1	0	0	0	1	1	1
0	1	0		1 0	1	1	1	1	0	0	0

- Tak, jak poprzednio wypisane zostaly z lewej strony warianty podstawien oraz podpisane pod odpowiednimi literami ich wartosci logiczne. Pozniej zajelismy sie sprawdzeniem wartosci zanegowanego “p”, a takze alternatywy “p r”. Kolejny krok to podpisanie pod znakiem rownowaznosci oraz negacji stosownych, w konkretnych przypadkach, cyfr “0” albo “1”. I w koncu dotarlismy do glownego spojnika tego schematu, jakim jest implikacja, ktorej postac uproszczona wyglada nastepujaco:
- W tym miejscu wpisalismy rezultat naszych operacji logicznych, podkreslajac go. Widzimy, ze nasz schemat jest prawdziwy w 5 przypadkach ( I - dla p = 1, q = 1, r = 1 ; II - dla p = 1, q = 1, r = 0 ; III - dla p = 0, q = 0, r = 0 ; IV - dla p = 0, q = 0, r = 1 ; V - dla p = 0, q = 1, r = 0).
_____

c)

				[r	(p	q)]		(~	p		~ q )
p	q	r
1	1	1		1 1	1 1	1	1	0	1	1	0 1
1	1	0		0 0	1 1	1	1	0	1	1	0 1
1	0	0		0 0	1 0	0	1	0	1	1	1 0
0	0	0		0 0	0 1	0	1	1	0	1	1 0
0	1	1		1 0	0 0	1	0	1	0	0	0 1
0	0	1		1 1	0 1	0	1	1	0	1	1 0
1	0	1		1 0	1 0	0	1	0	1	1	1 0
0	1	0		0 0	0 0	1	0	1	0	0	0 1

Kolejne kroki: I. Podpisanie odpowiednich wartosci pod literami w schemacie; II. Wykonanie negacji oraz rownowaznosci; III. Sprawdzenie koniunkcji i implikacji; IV. Otrzymanie w ramce ostatecznych wartosci logicznych glownego spojnika - alternatywy, przez co zorientowalismy sie, ze nasz schemat jest falszywy tylko w dwoch przypadkach. _____ d)         [r (p r)] (~ p ~ q ) p q r                   1 1 1   1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0   0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0   0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0   0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1   1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1   1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1   1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0   0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1